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题意

t次询问，每次给你一个数n，求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数。 (n≤$10^{18}$)

题解

我们先来分析这道题，首先我们知道每个数都可以分解成质因数乘积的形式。
$num=p{1}^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ...\ast p_m^{k_m}$ （$p_1,p_2....p_m$为num的质因数）

那么很容易我们可以得到一个数的约数个数为：$(k_1+1)\ast (k_2+1)\ast ...\ast (k_m+1)$

那么要找1~n里约数最多的，肯定是分解成质因数后个数最多的。
我们打表可以发现前15个质数相乘就达到极限，再多乘一个最小质因数2就会超出$10^{18}$的范围。可能有人会问为什么只是前15个，后面还有很多数的质因数没在这15个质数里面，注意我们要找的是约数个数最多的，所以质因数个数应该尽可能多，质因数个数要尽可能多，那么质因数应该尽可能小。

我们只需枚举这15个质数，然后再枚举每个质数的个数即可。可以用dfs来求解
我dfs的参数有当前数的大小，当前枚举到第几个质数，当前质数个数的上限，当前数的约数个数。

一开始我没有加上“当前质数个数的上限”参数，结果我超时了。因为一开始为2时的上限是64 （$2^{64}>10^{18}$），所以我全部设的上限为64，很明显$64^{15}$必超时。所以必须加上“当前质数个数的上限”参数，很明显为了得到约数个数尽可能多，那么质数越小的时候个数应该尽可能多，所以每搜索到下一个质数的个数一定小于当前质数个数。

代码

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<bitset>#include<cassert>#include<cctype>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<deque>#include<iomanip>#include<list>#include<map>#include<queue>#include<set>#include<stack>#include<vector>using namespace std;//extern "C"{void *__dso_handle=0;}typedef long long ll;typedef long double ld;#define fi first#define se second#define pb push_back#define mp make_pair#define pii pair<int,int>#define lowbit(x) x&-xconst double PI=acos(-1.0);const double eps=1e-6;const ll mod=1e9+7;const int inf=0x3f3f3f3f;const int maxn=1e5+10;const int maxm=100+10;#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int p[20];ll n;void getprime(){   	p[0]=0;	int cnt=1;	for(int i=2;cnt<=15;i++)	{   		bool flag=true;		for(int j=2;j<=sqrt(i);j++)			if(i%j==0) {    flag=false; break;}		if(flag) p[cnt++]=i;	}}ll dfs(ll num,int pos,int lim,ll ans){   	ll tmp=ans;	if(pos>15) return ans;	for(int i=1;i<=lim;i++)	{   		if(n/p[pos]<num) break;		num*=p[pos];		tmp=max(tmp,dfs(num, pos+1,i, ans*(i+1)));	}	return tmp;}int main(){   	getprime();	int t; scanf("%d",&t);	while(t--)	{   		scanf("%lld",&n);		printf("%lld\n",dfs(1,1,64,1));	}}

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